Henri Poincaré

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Henri Poincaré
Henri Poincaré
Naissance	29 avril 1854 Nancy (France)
Décès	17 juillet 1912 (à 58 ans) Paris (France)
Nationalité	France
Champs	Mathématicien, physicien et philosophe
Institutions	Université de Caen Faculté des sciences de Paris Ecole Polytechnique Bureau des longitudes
Diplômé de	École polytechnique École des Mines Faculté des sciences de Paris
Renommé pour	Optique, calcul infinitésimal, théorie du chaos, théorie de la relativité
Distinctions	Prix Poncelet 1885, Médaille Sylvester (1901)
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Henri Poincaré était un mathématicien, physicien et philosophe français né le 29 avril 1854 à Nancy et mort le 17 juillet 1912 à Paris. Il a réalisé des travaux d'importance majeure en optique et en calcul infinitésimal. Ses avancées sur le problème des trois corps en font un fondateur de l'étude qualitative^[1] des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos ; il est aussi un précurseur majeur de la théorie de la relativité restreinte. On le considère comme un des derniers grands savants universels, maîtrisant en particulier l'ensemble des branches des mathématiques de son époque^[2].

Biographie

Jules Henri Poincaré est le fils de Léon Poincaré^[3], doyen de la faculté de médecine de Nancy et de son épouse Eugénie Launois^[4]. Il est le cousin germain de l'homme politique et président de la République française Raymond Poincaré, et de Lucien Poincaré, directeur de l'Enseignement secondaire au ministère de l'Instruction publique et des Beaux-Arts. Il épousa le 20 avril 1881 Louise Poulain d'Andecy, petite-fille d'Isidore Geoffroy Saint-Hilaire, arrière-petite-fille d'Étienne Geoffroy Saint-Hilaire. Quatre enfants naissent de cette union : Jeanne (1887), Yvonne (1889), Henriette (1891), et Léon (1893).

Élève d'exception, il obtient, en 1871, le baccalauréat ès lettres, mention Bien, et son baccalauréat ès sciences, mention Assez Bien à cause d'un zéro en composition de mathématiques^[5] ! Les circonstances de cet incident sont floues, mais Poincaré se relève de ce mauvais pas en classes préparatoires, où il remporte deux fois consécutivement le concours général de mathématiques. Malgré son inaptitude sportive et artistique et une épreuve de dessin industriel qu'il aurait ratée, il se classe premier au concours d'entrée à l'École polytechnique en 1873, puis à l'École des Mines en octobre 1875 ; il est licencié ès sciences le 2 août 1876. Nommé ingénieur des mines de troisième classe en mars 1879 à Vesoul, il obtient, le 1^er août 1879, le doctorat ès sciences mathématiques à la Faculté des sciences de Paris, et devient chargé de cours d'analyse à la faculté des sciences de Caen le 1^er décembre 1879.

Deux ans plus tard, il obtient ses premiers résultats marquants en mathématiques (sur la représentation des courbes et sur les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques), et rapidement, il s'intéresse à l'application de ses connaissances mathématiques en physique et plus particulièrement en mécanique.

Il retourne à Paris en 1881 comme maître de conférences d'analyse à la faculté des sciences de Paris. Il est nommé répétiteur d'analyse à l'École polytechnique le 6 novembre 1883, charge qu'il occupe jusqu'à sa démission en mars 1897. Nommé à la chaire de mécanique physique et expérimentale le 16 mars 1885, il la quitte pour la chaire de Physique mathématique et de calcul des probabilités en août 1886, succédant à Gabriel Lippmann.

Il est élu membre de l'Académie des sciences en 1887. Il devient membre du Bureau des longitudes en 1893 et est nommé ingénieur en chef des mines. En novembre 1896, il obtient la chaire d'Astronomie mathématique et de mécanique céleste, succédant à Félix Tisserand.

Il est, en 1901, le premier lauréat de la Médaille Sylvester de la Royal Society. Il a été président de la Société mathématique de France en 1886 et en 1900 et président de la Société française de physique en 1902.

Le 1^er octobre 1904, Henri Poincaré est nommé professeur d'astronomie générale sans traitement à l'École polytechnique, ceci afin d'éviter la suppression de cette chaire.

Poincaré et la relativité

En 1902, Poincaré publie La Science et l'Hypothèse. Même si ce livre est plus un ouvrage d'épistémologie que de physique, il appelle à ne pas considérer comme trop réels de nombreux artéfacts de la physique de son époque : le temps absolu, l'espace absolu, l'importance de l'éther. Einstein s'était particulièrement penché sur ce livre^[6], et les idées contenues font du livre un précurseur de la relativité restreinte.

On y trouve en particulier ce passage :

« Ainsi l'espace absolu, le temps absolu, la géométrie même ne sont pas des conditions qui s'imposent à la mécanique ; toutes ces choses ne préexistent pas plus à la mécanique que la langue française ne préexiste logiquement aux vérités que l'on exprime en français ».

En 1905, Poincaré pose les équations des transformations de Lorentz, et les présente à l'Académie des sciences de Paris le 5 juin 1905. Ces transformations vérifient l'invariance de Lorentz, achevant le travail d'Hendrik Antoon Lorentz lui-même (Lorentz était un correspondant de Poincaré). Ces transformations sont celles qui s'appliquent en relativité restreinte, et on emploie encore aujourd'hui les équations telles que les a écrites Poincaré. Mais pour expliquer l'origine physique de ces transformations, Poincaré a recours à des contractions physiques de l'espace et du temps, conservant en références un éther et un temps absolu. C'est Einstein qui s'emploie à montrer qu'on retrouve les mêmes transformations en partant simplement du principe de relativité, éliminant les notions de référentiels ou horloge absolu, et faisant des différences de longueur des effets de la perspective dans un espace-temps en quatre dimensions, et non des contractions réelles^[7].

Poincaré a également proposé certaines idées sur la gravité, notamment la propagation des perturbations du champ de gravitation à la vitesse de la lumière, ce qu'il nomma « ondes gravifiques ». Sa faiblesse était de trop rechercher l'analogie avec l'électromagnétisme en cherchant une nouvelle loi de gravitation qui soit invariante par les transformations de Lorentz^[8]. Paul Langevin note que Poincaré a trouvé « plusieurs solutions possibles qui présentent toutes ce caractère commun que la gravitation se propage avec la vitesse de la lumière, du corps attirant au corps attiré, et que la loi nouvelle permet de représenter les mouvements des astres mieux encore que la loi ordinaire puisqu'elle atténue les divergences existant encore entre celle-ci et les faits, dans le mouvement du périhélie de Mercure, par exemple. »

Si les physiciens de l'époque étaient parfaitement au courant des travaux de Poincaré, le grand public l'a ensuite presque oublié, alors que le nom d'Einstein est aujourd'hui connu de tous. Récemment, quelques voix ont cherché à rappeler le rôle de Poincaré, mais d'autres sont allés plus loin, cherchant à faire de Poincaré l'auteur de la théorie de la relativité. Cette controverse sur la paternité de la relativité est d'autant plus délicate que les conflits politiques se mêlent aux questions de lecture des articles de physique.

Mathématiques

Poincaré est le fondateur de la topologie algébrique. Ses principaux travaux mathématiques ont eu pour objet la géométrie algébrique, des types de fonctions particuliers – les fonctions dites « automorphes » (il découvre les fonctions fuchsiennes et kleinéennes), les équations différentielles… La notion de continuité est centrale dans son travail, autant par ses répercussions théoriques que pour les problèmes topologiques qu'elle entraîne.

Fondements des mathématiques

À partir de 1905 et pendant les six dernières années de sa vie, Poincaré participe activement aux débats sur les fondements qui traversaient à l'époque la communauté mathématique. Il n'a jamais essayé d'y contribuer sur le plan technique, mais certaines de ses idées ont eu une influence indéniable. L'un de ses contradicteurs, Bertrand Russell, écrira en 1914 : « Il n'est pas possible d'être toujours juste en philosophie ; mais les opinions de Poincaré, justes ou fausses, sont toujours l'expression d'une pensée puissante et originale, servie par des connaissances scientifiques tout à fait exceptionnelles »^[9]. Entre autres, à cause de son refus d'accepter l'infini actuel, c’est-à-dire la possibilité de considérer l'infini comme une entité achevée et non simplement comme un processus qui peut se prolonger arbitrairement longtemps, Poincaré est considéré par beaucoup d'intuitionnistes comme un précurseur. Poincaré n'a cependant jamais remis en cause le tiers exclu, et rien n'indique qu'il aurait pu adhérer à une refondation aussi radicale des mathématiques que celle que proposera Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

La position de Poincaré a évolué. Dans une période précédente, il s'est intéressé aux travaux de Georg Cantor, dont les travaux sur la construction des réels et la théorie des ensembles s'appuient de façon essentielle sur un infini actuel, au point de superviser la traduction en français d'une partie des articles de ce dernier (en 1871, 1883…), et d'utiliser ses résultats dans son mémoire sur les groupes kleinéens (1884)^[10]. Il s'intéresse également aux travaux de David Hilbert sur l'axiomatisation : il fait, en 1902^[11], une recension soignée et très louangeuse des Fondements de la géométrie (1899).

En 1905 et 1906, Poincaré réagit, de façon assez polémique, à une série d'articles de Louis Couturat sur les « principes des mathématiques » dans la Revue de métaphysique et de morale, articles qui rendaient compte des Principles of Mathematics de Bertrand Russell (1903). Russell finira par intervenir lui-même dans le débat^[12].

Poincaré, contrairement à ce qu'on dit souvent, n'a jamais partagé ce que l'on appelle de manière vague l'intuitionnisme kantien. Quand il évoque l'intuition (La valeur de la science, ch. 1), ce terme signifie « image » ou « modèle ». Sa conception de l'expérience n'a pas grand-chose à voir avec celle de Kant : ni l'espace ni le temps ne sont des « formes a priori », car l'expérience n'est que l'occasion à partir de laquelle l'espace représenté est mis en relation avec l'espace comme continuum amorphe : « L'expérience n'a donc joué qu'un seul rôle, elle a servi d'occasion. Mais ce rôle n'en était pas moins très important ; et j'ai cru nécessaire de le faire ressortir. Ce rôle aurait été inutile s'il existait une « forme a priori » s'imposant à notre sensibilité et qui serait l'espace à trois dimensions. » (La valeur de la science, ch. 4, § 6). Quand Poincaré évoque l'idée de commodité, il est plus proche des empiristes que des idéalistes : l'idée de vérité n'a plus grand-chose à voir avec l'idée de jugement synthétique a priori, parce qu'on « choisit » ses principes ou axiomes, tout comme on choisit les faits dans les sciences de la nature. Le principe de récurrence semble n'avoir d'autre but que de montrer la non-pertinence du logicisme, qui fait de la déduction le ressort central de la démonstration mathématique.

Pour lui, c'est précisément le cas du principe de récurrence, qu'il nomme également « principe d’induction », en ce qu'il s'oppose à déduction, et qu'il refuse de considérer comme le fruit d'un jugement purement analytique, comme le sont pour lui les raisonnements logiques. Ceci l'oppose à Russell (et, à travers lui, à Gottlob Frege, que Poincaré méconnaît), qui veut réduire les mathématiques à la logique, cela l'oppose aussi à ceux qu'il appelle les cantoriens, comme Ernst Zermelo, et dont il distingue en partie Hilbert. À ces derniers, il reproche l'usage de l'infini actuel, à travers leur façon de « passer du général au particulier », par exemple le fait de supposer l'existence d'ensembles infinis pour définir l'ensemble des entiers naturels, alors que, pour lui, les entiers naturels sont premiers. Il refuse ce qu'il appelle les définitions non prédicatives (voir paradoxe de Richard), qui, pour définir un ensemble E, font appel à « la notion de l'ensemble E lui-même » (typiquement, la définition actuelle en théorie des ensembles de N, l'ensemble des entiers naturels, comme intersection des ensembles contenant 0 et clos par successeur, est non prédicative au sens de Poincaré, puisque N fait partie de ces derniers). Les objections de Poincaré, par les réactions qu'elles ont nécessitées, ont joué un rôle non négligeable dans la naissance de la logique mathématique et de la théorie des ensembles, même si ses idées ont eu finalement relativement peu de succès. Elles influencent tout de même notablement l'intuitionnisme de Brouwer et ses successeurs (qui reste très marginal chez les mathématiciens), et ont connu des développements en théorie de la démonstration à partir des années 1960.

Problème des trois corps

Poincaré est également l'inventeur de l'attracteur étrange, qui donne des informations sur les solutions du problème des trois corps, alors même qu'il est impossible d'expliciter ces solutions : il trouva que trois corps obéissant à la gravitation universelle de Newton ont, sous certaines conditions, une trajectoire qui dépend fortement de la condition initiale. Ainsi, on ne pourra jamais déterminer avec exactitude le destin de ces corps, car la moindre perturbation dans ses mesures entraînerait irrémédiablement une forte différence de trajectoire.

Ces supputations sont à l'origine de la théorie du chaos.

Conjecture de Poincaré

Posée en 1904 par Poincaré, la conjecture portant son nom était un problème de topologie énoncé sous cette forme par son auteur:

« Considérons une variété compacte V à 3 dimensions sans bord. Est-il possible que le groupe fondamental de V soit trivial bien que V ne soit pas homéomorphe à une sphère de dimension 3 ? »

En l'an 2000, l'institut Clay plaça la conjecture parmi les sept problèmes du prix du millénaire. Il promit un million de dollars américains à celui qui démontrerait ou réfuterait la conjecture. Grigori Perelman a démontré cette conjecture en 2003, et sa démonstration fut validée en 2006. Mais le chercheur a refusé aussi bien la médaille Fields que le million de dollars.

Philosophe et homme de lettres

Il est aussi le dernier à avoir la double spécificité de comprendre l'ensemble des mathématiques de son époque et d'être en même temps un penseur philosophique. On le considère comme un des derniers grands savants universels, du fait de ses recherches dans des domaines transversaux (physique, optique, astronomie…), et de son attitude scientifique fondée sur une esthétique de la science et du nombre, à rapprocher de celle des anciens Grecs.

Poincaré a œuvré toute sa carrière durant à la vulgarisation de ses résultats et des grands travaux de la science, attitude qui sera reprise par des physiciens ultérieurs.

Avec La Science et l'Hypothèse, Poincaré intéresse le monde artistique, notamment les cubistes, et donne des clés de compréhension aux géométries non euclidiennes.

De manière plus anecdotique, on peut noter que Poincaré aurait écrit un roman de jeunesse^[13].

Participation à la vie citoyenne

En 1899, il adresse une lettre au Conseil de guerre de Rennes - chargé de juger le capitaine Dreyfus - critiquant les méthodes d'analyse du bordereau qui semble accuser Dreyfus^[14]. En 1904, à la demande de la Cour de cassation, Poincaré signe avec Darboux et Appell, un rapport qui sera versé au procès en révision de Dreyfus par cette même cour en 1906. Ce rapport, principalement rédigé par Poincaré, prend position en faveur de Dreyfus^[15].

Honneurs

Plaque commémorative sur la maison natale de Henri Poincaré à Nancy

• Lauréat du concours général.
• Médaille d'or de la Royal Astronomical Society (1900)
• Prix Bolyai (1905)
• Membre de l'Académie française (1908)
• Médaille Bruce (1911)
• Commandeur de la Légion d’honneur.

Pour l'ensemble de ses travaux, Poincaré fut pressenti à plusieurs reprises au prix Nobel de physique. L’Université Henri-Poincaré à Nancy est nommée en son honneur. Les Archives Henri Poincaré (laboratoire d'Histoire des Sciences et de Philosophie à l'université Nancy2) effectuent des recherches sur ses travaux. L’Institut Henri-Poincaré, au sein de l’Université Pierre-et-Marie-Curie, est créé en 1928.

Principales publications (cours et essais)

• La Science et l'Hypothèse (Flammarion - 1902)
• La Valeur de la Science (Flammarion - 1905)
• Science et Méthode (Flammarion - 1908)
• Savants et écrivains (Flammarion - 1910)
• Les méthodes nouvelles de mécanique céleste (Gauthier-Villars- 1893)
• Dernières Pensées (1913) Flammarion, réédité par Flammarion, complété d'autres articles en appendice à partir de la seconde édition de 1926.*
• Ce que disent les choses, (1911), Hachette: cinq chapitres publiés dans la revue pour enfants Au seuil de la vie (Hachette, 1910) et repris par Hachette en 1911 dans l'ouvrage éponyme Ce que disent les choses. Réédité en 2010 chez Hermann, Paris (voir bibliographie).
• Cours de la Faculté des sciences de Paris publiés par l'Association amicale des élèves et anciens élèves de la Faculté des sciences - Cours de Mécanique physique et expérimentale:
  • Cours professé pendant l'année 1885-1886. 1. partie, Cinématique pure--Mécanismes, Seconde partie, Potentiel, mécanique des fluides,
• Cours de la Faculté des sciences de Paris publiés par l'Association amicale des élèves et anciens élèves de la Faculté des sciences - Cours de Physique Mathématique:
  • Leçons sur la théorie mathématique de la lumière professées pendant le premier semestre 1887-1888,
  • Électricité et optique, la lumière et les théories électrodynamiques, leçons professées en 1888, 1890 et 1899 (Carré et Naud- 1901)
  • Thermodynamique : leçons professées pendant le premier semestre 1888-89 - Rédaction de J. Blondin, Agrégé de l'Université- Paris Gauthier-Villars 1908 - Réimpression 1995 des Éditions Jacques Gabay.
  • Capillarité : Leçons professées pendant le deuxième semestre 1888-1889,
  • Leçons sur la théorie de l'élasticité (Carré - 1892)
  • Théorie mathématique de la lumière II : nouvelles études sur la diffraction.-Théorie de la dispersion de Helmholtz : Leçons professées pendant le premier semestre 1891-1892 ,
  • Théorie des tourbillons, leçons professées pendant le deuxième semestre 1891-1892 (Carré et Naud- 1893)
  • Les oscillations électriques, leçons professées pendant le premier trimestre 1892-1893 (Carré et Naud- 1900)
  • Théorie analytique de la propagation de la chaleur, leçons professées pendant le premier semestre 1893-1894 (Carré - 1895)
  • Calcul des probabilités, leçons professées pendant le deuxième semestre 1893-1894 (Carré et Naud- 1896)
  • Théorie du potentiel newtonien, leçons professées pendant le premier semestre 1894-1895 (Carré et Naud - 1899)
• Cours de la Faculté des sciences de Paris - Cours de mécanique céleste:
  • Tome I: Théorie générale des perturbations planétaires
  • Tome II, 1re partie: Développement de la fonction perturbatrice
  • Tome II, 2e partie: Théorie de la Lune

• Rapports présentés au congrès International de Physique réuni à Paris en 1900 sous les auspices de La Société Française de Physique rassemblés et publiés par Ch.-Ed. Guillaume et H. Poincaré, secrétaires généraux du congrès - 3 volumes in-8° avec fugures ; Paris, Gauthier-Villars - 1900

Notes et références

Annexes

Iconographie

• Buste en bronze par le statuaire Émile Joseph Nestor Carlier, (1849-1927) érigé dans le square du Lycée de Nancy par souscription des anciens élèves des Lycées de: Nancy, Colmar, Metz et Strasbourg en 1913.

Bibliographie

• Édouard Toulouse, Enquête médico-psychologique sur la supériorité intellectuelle : Henri Poincaré. Paris, Flammarion, 1910, 204 pages.
• Paul Langevin, Henri Poincaré, Librairie Félix Alcan, 1914, p. 174.
• Paul Appell, Henri Poincaré, 1925, Librairie Plon.
• (en) Vladimir Fock, The Theory of Space Time and Gravitation, Pergamon, 1958, p. xviii, 350, 370-374.
• ^[Langue ?] Vladimir Fock, ^{[Titre ?]}, K. Norske Vidensk. Selsk. Forhandl., 1963, p. 36, 16^{[réf. incomplète]}.
• (en) G. H. Keswani, Origin and Concept of Relativity, Parts I, II, III, Brit. J. Phil. Sci. (en) vol. 15-17, 1965-66.
• Éric Charpentier, Étienne Ghys et Annick Lesne (dir.), L'Héritage scientifique de Poincaré, Coll. « Échelles », Belin, Paris, 2006.
• Ernest Lebon, Henri Poincaré, biographie, bibliographie analytique des écrits, Paris, Gauthier-Villars, 1909 [lire en ligne].
• André Roug, Relativité restreinte la contribution d’Henri Poincaré, les éditions de l’école polytechnique, 2008.
• Xavier Verley, Poincaré ou le renouveau de la philosophie naturelle, coll. « Figures du savoir » n° 46, Les belles lettres, Paris, 2009.
• Christian Gérini, Henri Poincaré : Ce que disent les choses, Hermann, Paris, 2010.
• André Bellivier, Henri Poincaré ou la vocation souveraine, coll. « Vocations » n° IV, Gallimard, Paris, 1956.

Articles connexes

• Conjecture de Poincaré
• Demi-plan de Poincaré
• Disque de Poincaré
• Sphère de Poincaré
• Formule du crible de Poincaré
• Groupe de Poincaré
• Inégalité de Poincaré
• Théorème de Poincaré-Birkhoff
• Théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt
• Théorème de Poincaré-Hopf
• Théorème de Poincaré-Wavre
• Géométrie non euclidienne
• Léon Daum
• Poincaré et la popularisation de la 4^e dimension
• Application de Poincaré

Liens externes

• Biographie détaillée (Institut Henri Poincaré)
• Textes numérisés
• Poincaré et la T.S.F., conférence de 1908 en ligne et commentée sur le site BibNum.
• Galerie photographique (Université de Nancy)
• Gaston Darboux (secrétaire perpétuel), Éloge historique de Henri Poincaré, lu lors de la séance publique annuelle du 15 décembre 1913 de l'Académie des sciences française.
• Einstein, Poincaré et la théorie de la relativité restreinte, Enregistrements vidéo et audio d'une conférence donnée par Christian Bracco et Jean-Pierre Provost
• Enregistrement de conférences sur l'oeuvre et la pensée d'Henri Poincaré
• Frédéric Fabre, L'internalisation du principe de correspondance Article sur le principe de correspondance de Poincaré
• Michel Paty, Poincaré, Langevin et Einstein
• [vidéo] Philippe Thomine, Tout est relatif, Monsieur Poincaré !, Canal-U (sur Henri Poincaré, son œuvre et son époque)

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